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AMC10/12數(shù)學(xué)競賽四大高頻考點(diǎn)解析:名師帶你巧破競賽難題!

發(fā)布時(shí)間:2024-02-07 10:46:21 編輯:Mila來源:網(wǎng)絡(luò)

AMC10/12數(shù)學(xué)競賽試題主要分為4個(gè)模塊:代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合。每個(gè)模塊考察的內(nèi)容不同,占比也不同。攻破這四大模塊,那么你距離AIME晉級也就不遠(yuǎn)了。今天我們通過探究真題,帶領(lǐng)同學(xué)們呢體會AMC的命題風(fēng)格,巧破難題!

AMC10/12數(shù)學(xué)競賽

 
 
代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合四個(gè)板塊中,代數(shù)和幾何占比將近60%,是每年考試的重點(diǎn)。數(shù)論和組合在最近幾年的出題率也大大增加。因此我們從這四個(gè)模塊中分別選取一道往年較有難度的真題進(jìn)行講解:

 
 
 

AMC10/12歷年真題

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真題解析 

 
代數(shù)占比最多,是歷年考題的重中之重,大概占10題左右。代數(shù)的一個(gè)顯著的特征是,引入了用字母符號來“代替“數(shù)字,并且對符號進(jìn)行形式化的運(yùn)算。在此基礎(chǔ)上,再發(fā)展到方程和函數(shù)等概念的建立。下面我們以一道AMC10的一道真題為例:

解析:在這個(gè)題里面,N和M雖然實(shí)際上是確定的數(shù),但是以未知數(shù)的形式出現(xiàn)的。要先根據(jù)條件列出一個(gè)不定方程,因?yàn)椴欢ǚ匠淘谙薅l件是可能有唯一解或者有限定個(gè)數(shù)的解的,題中N和M都是整數(shù),N>2M和M>4,這些限定條件排除了不可能的解,剩下的就是我們要的解。

 幾何占比第二多,大概6-8 題,比較注重平面幾何、三角形與四邊形的考察。大部分內(nèi)容在國際課程中不涉及,所以對于國際學(xué)生來說可能會有點(diǎn)陌生。下面以一道真題為例:

 

 

解析:從圖形上來看,一個(gè)正方形被兩條直線分割成了4塊,我們注意到其中3塊都是三角形,所以我們只要知道這3個(gè)三角形的面積比例,不規(guī)則四邊形AFED也就知道了,答案自然而然就出來了。

 組合是每年的必考點(diǎn),大概占比5-6題。其中排列和組合是組合數(shù)學(xué)的基本概念,而概率又是由排列數(shù)和組合數(shù)進(jìn)行“排列組合”,也就是加減乘除各種運(yùn)算而得到的。只要概念清晰,方法系統(tǒng)化,可以說理論上一切的概率問題都可以計(jì)算出來。下面我們通過一道真題詳細(xì)了解一下:

 

解析:首先,五個(gè)頂點(diǎn)我們視為不同的,所以對它們的涂色是有順序的。關(guān)鍵是要把順序排列好,還要把情況分解好。我們用下面的樹形圖來表示。把每一個(gè)分支的計(jì)數(shù)算出來,最后加和就是總數(shù)了。

 

 

 
 數(shù)論雖然占比最少,但在近幾年考察比重在逐漸加大,內(nèi)容包括整除、分解質(zhì)因數(shù)、指數(shù)冪等。大概占 4-6 題左右。從概念來講,數(shù)論就是討論整數(shù)的規(guī)律。我們以AMC12的一道真題為例:
 
 

解析:這個(gè)題的正規(guī)解題方法要用到費(fèi)馬小定理和中國余數(shù)定理,如果能掌握這些當(dāng)然很高超。但是即使不會這兩個(gè)定理,也可以用幾次WLOG(without loss of generality,不失去一般性)的特例推理,進(jìn)行解答。

 
 
 
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課程類型:一對一輔導(dǎo)/4-8人小班課

授課模式:線上/線下同步授課,有課程回放錄像可供復(fù)習(xí)

授課語言:中/英雙語教學(xué)
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